【問題】
次の計算について、（ ア：４桁の整数 ）に当てはまる整数を求めてください。
１０１０１０１０１ ＝ （ ア：４桁の整数 ）×（ イ：５桁の整数 ）。
左の９ケタの数は、０が４個、１が５個ある数です。
実は101010101=41×271×9091=11111×9091
と因数分解できるのでア：9091、イ：11111となります。
が手計算では無理ですね。
まず１０１０１０１０１が特徴のある数ですよね。
1と0が交互になっています。
その前に数の問題の時のアプローチの基本の確認です。
ゴホンゲ先生の語録にも
五本毛語録ファイルを作成してみました！ | らふわく～Life＆laugh work～算数・数学・趣味
「整数」は範囲を絞る働き！
とあります。
数の問題の時には範囲を絞るためにも、
①掛け算の形にする
②条件から範囲を絞る
③あまりで場合分け
の３つのアプローチを駆使します。
今回は①は問題自体がそうなので、②を駆使します。
１０１０１０１０１が特徴のある数ということで、これは
１１１１１１１１１÷１１＝１０１０１０１０１
と言い換えられることに気づきました？
割り算のひっ算をしてもらうと一目瞭然です。
１１でわるときに１１のかたまりごとに１を書きますよね。（あいだは0）
筆算を計算の道具に終わらせず、計算過程の理屈まで理解していれば気づけたはずです。
つぎに１１１１１１１１１をなんとか分解したいのですが、
１１の倍数の判別法
って押さえていますか？
【応用】倍数判定法（7と11と13の場合） | なかけんの数学ノート
これを使えば１００００１が11の倍数であり
１１１１１×１００００１＝１１１１１１１１１
となるので
１０１０１０１０１
＝１１１１１１１１１÷１１
＝１１１１１×１００００１÷１１
＝１１１１１×９０９１
と分解できました。
どうですか、
問題の数を見た時に特徴に気づいて、どう変換させていくかを実践しただけです。計算のやり方で知らない方法はないはずです。１１の倍数の判別は難しいかもしれませんが。ただ、１００１＝７×１１×１３から１１の倍数であることは問題で扱ったことがあるはずです。
では、この問題をここで終わらせてはもったいないです。
ここからは数学の範疇になります。
数の問題の時に、重要なアプローチ、それは桁ばらし。
１０１０１０１０１を桁ばらししたら
＝10^8+10^6+10^4+10^2+1
=1+(10^2)+(10^2)^2+(10^2)^3+(10^2)^4
つまり初項１で等比100の等比数列の和であらわせます。
Sn=１０１０１０１０１
=（(10^2)^5-1)/(10^2-1)
= ((10^5)^2-1)/(10^2-1)
=(10^5+1)(10^5-1)/(10+1)(10-1)
=｛(10^5+1)/(10+1)｝＊｛(10^5-1)/(10-1)｝
=9091×11111
