【問題】
次の計算について、( ア:4桁の整数 )に当てはまる整数を求めてください。
101010101 = ( ア:4桁の整数 )×( イ:5桁の整数 )。
左の9ケタの数は、0が4個、1が5個ある数です。
実は101010101=41×271×9091=11111×9091
と因数分解できるのでア:9091、イ:11111となります。
が手計算では無理ですね。
まず101010101が特徴のある数ですよね。
1と0が交互になっています。
その前に数の問題の時のアプローチの基本の確認です。
ゴホンゲ先生の語録にも
五本毛語録ファイルを作成してみました! | らふわく~Life&laugh work~算数・数学・趣味
「整数」は範囲を絞る働き!
とあります。
数の問題の時には範囲を絞るためにも、
①掛け算の形にする
②条件から範囲を絞る
③あまりで場合分け
の3つのアプローチを駆使します。
今回は①は問題自体がそうなので、②を駆使します。
101010101が特徴のある数ということで、これは
111111111÷11=101010101
と言い換えられることに気づきました?
割り算のひっ算をしてもらうと一目瞭然です。
11でわるときに11のかたまりごとに1を書きますよね。(あいだは0)
筆算を計算の道具に終わらせず、計算過程の理屈まで理解していれば気づけたはずです。
つぎに111111111をなんとか分解したいのですが、
11の倍数の判別法
って押さえていますか?
【応用】倍数判定法(7と11と13の場合) | なかけんの数学ノート
これを使えば100001が11の倍数であり
11111×100001=111111111
となるので
101010101
=111111111÷11
=11111×100001÷11
=11111×9091
と分解できました。
どうですか、
問題の数を見た時に特徴に気づいて、どう変換させていくかを実践しただけです。計算のやり方で知らない方法はないはずです。11の倍数の判別は難しいかもしれませんが。ただ、1001=7×11×13から11の倍数であることは問題で扱ったことがあるはずです。
では、この問題をここで終わらせてはもったいないです。
ここからは数学の範疇になります。
数の問題の時に、重要なアプローチ、それは桁ばらし。
101010101を桁ばらししたら
=10^8+10^6+10^4+10^2+1
=1+(10^2)+(10^2)^2+(10^2)^3+(10^2)^4
つまり初項1で等比100の等比数列の和であらわせます。
Sn=101010101
=((10^2)^5-1)/(10^2-1)
= ((10^5)^2-1)/(10^2-1)
=(10^5+1)(10^5-1)/(10+1)(10-1)
={(10^5+1)/(10+1)}*{(10^5-1)/(10-1)}
=9091×11111