18を２つ以上の連続した整数の和に分解する方法は２通りあります。
①５＋６＋７
②３＋４＋５＋６
①の場合、３個の連続数で真ん中（センター）は6。この６は平均を意味します。
なので平均6×３個＝総和18となります。
②の場合、4個の連続数なので平均は4.5となり真ん中（センター）は存在しません。
しかし、これを３＋４＋５＋６ ４と5、3と6のセットとみると合計9が２セット＝総和18と言えます。
偶数個の時はセンターがないのでセンターに近い２つをセットにしたもののセット数で総和を表せます。
①②をみるとともに総和は掛け算であらわせ、①は個数が奇数、②はセンターに近い２つの和が奇数になっていませんか。
つまり
奇数個の連続数の時は センターの数×個数（奇数）
偶数個の連続数の時は センターに近い２つの和（奇数）×セット数
と見方を変えることができます。
なので奇数だけに注目すればいいことが分かります。
18=2×3×3なので奇数の約数は（1,3,9）
個数を1の場合、センターが18はできない。
個数が3の場合、センターが6なら（5～7）でできる。
個数が9の場合、センターが２はできない。
２つの和が1の場合は１８セットはできない。
２つの和が３の場合は６セットは2と３を中心に左右に５増減させればいいがこれはできない。
２つの和が9の場合は2セットは4と５を中心に左右に１増減させればいいので（3～6）
というように個数の場合と２つの和がそれぞれ奇数になるケースを考えているだけなのです。
では2023の場合は、2023=7×17×17より奇数の約数は（1,7,17,119,289,2023）の6つ。
ここで
（1,7,17,119,289,2023）に対応して
（2023,289,119,17,7,1）とメモしておきます。
上下を掛け算すると2023になります。
個数が
1の場合：センター2023は×
7の場合：センター289は（286～292）
17の場合：センター119は（111～127）
119の場合：センター17は×
289の場合：センター7は×
2023の場合：センター1は×
２つの和が
1の場合：2023セットは×
7の場合：289セットは×
17の場合：119セットは×
119の場合：17セットは（43～76）
289の場合：7セットは（138～151）
2023の場合：1セットは（1011,1012）
この結果を見ると、１以外の奇数の約数の個数（５個）と一致しています。
負の数まで考えるなら個数が１の場合のみ連続数にならないので２×6-1=11個と計算できます。
この開成の2018年問３もこの考えを使ってメモだけで瞬殺できているのでした。
整数の和分解を使って開成2018問3を暗算で瞬殺（3分）してみましょう！ - らふわく～Life＆laugh work～受験算数・数学・趣味
