18を2つ以上の連続した整数の和に分解する方法は2通りあります。
①5+6+7
②3+4+5+6
①の場合、3個の連続数で真ん中(センター)は6。この6は平均を意味します。
なので平均6×3個=総和18となります。
②の場合、4個の連続数なので平均は4.5となり真ん中(センター)は存在しません。
しかし、これを3+4+5+6 4と5、3と6のセットとみると合計9が2セット=総和18と言えます。
偶数個の時はセンターがないのでセンターに近い2つをセットにしたもののセット数で総和を表せます。
①②をみるとともに総和は掛け算であらわせ、①は個数が奇数、②はセンターに近い2つの和が奇数になっていませんか。
つまり
奇数個の連続数の時は センターの数×個数(奇数)
偶数個の連続数の時は センターに近い2つの和(奇数)×セット数
と見方を変えることができます。
なので奇数だけに注目すればいいことが分かります。
18=2×3×3なので奇数の約数は(1,3,9)
個数を1の場合、センターが18はできない。
個数が3の場合、センターが6なら(5~7)でできる。
個数が9の場合、センターが2はできない。
2つの和が1の場合は18セットはできない。
2つの和が3の場合は6セットは2と3を中心に左右に5増減させればいいがこれはできない。
2つの和が9の場合は2セットは4と5を中心に左右に1増減させればいいので(3~6)
というように個数の場合と2つの和がそれぞれ奇数になるケースを考えているだけなのです。
では2023の場合は、2023=7×17×17より奇数の約数は(1,7,17,119,289,2023)の6つ。
ここで
(1,7,17,119,289,2023)に対応して
(2023,289,119,17,7,1)とメモしておきます。
上下を掛け算すると2023になります。
個数が
1の場合:センター2023は×
7の場合:センター289は(286~292)
17の場合:センター119は(111~127)
119の場合:センター17は×
289の場合:センター7は×
2023の場合:センター1は×
2つの和が
1の場合:2023セットは×
7の場合:289セットは×
17の場合:119セットは×
119の場合:17セットは(43~76)
289の場合:7セットは(138~151)
2023の場合:1セットは(1011,1012)
この結果を見ると、1以外の奇数の約数の個数(5個)と一致しています。
負の数まで考えるなら個数が1の場合のみ連続数にならないので2×6-1=11個と計算できます。
この開成の2018年問3もこの考えを使ってメモだけで瞬殺できているのでした。
整数の和分解を使って開成2018問3を暗算で瞬殺(3分)してみましょう! - らふわく~Life&laugh work~受験算数・数学・趣味